Phần 2: Xác định tỷ trọng tiền mặt trong danh mục – Công thức Kelly

Trong phần 1, chúng ta đã đề cập ý nghĩa của tiền mặt trong danh mục như một phương tiện để cất trữ thành quả đầu tư và tài trợ rủi ro cho danh mục. Vậy thì, làm thế nào để xác định được tỷ trọng cổ phiếu: tiền mặt ở từng thời điểm đầu tư. Điều này sẽ liên quan đến các yếu tố định lượng có thể đo lường được, đó là đánh giá hiệu quả từ lịch sử đầu tư với cổ phiếu đó, yếu tố liên quan đến tỷ lệ đầu tư thành công trong lịch sử đầu tư, và phần thưởng/chi phí kỳ vọng trên mỗi kỳ đầu tư. Dễ hiểu hơn, nếu hiệu quả đầu tư tốt trong lịch sử đối có thể gia tăng tỷ trọng cổ phiếu/tiền mặt, ngược lại nếu hiệu suất đầu tư không tốt trong lịch sử thì chúng ta cũng cần thu hẹp tỷ trong cổ phiếu/tiền mặt.

Tiếp cận công thức Kelly, giả sử ta gọi Wi là tỷ trọng cổ phiếu: tổng tài sản, Ri là hiệu suất đầu i là thời điểm đầu tư trong gian đoạn từ [0,T]. Như vậy, sau khoảng thời gian T. Hiệu quả đầu tư của danh mục sẽ là:

RT +1= (1+W0*R0)*(1+W1*R2)* (1+W2*R3)…* (1+WT*RT) (1)

Nếu trong khoảng thời gian đầu tư T, chúng ta ghi nhận được có P lệnh lãi và Q lệnh lỗ, ta đặt B là hiệu suất bình quân lệnh lãi, A là hiệu suất bình quân lệnh lỗ, và W là một hàm số theo biến i, và r là hiệu suất bình quân của thời kỳ T, khi đó, RT có thể được viết lại dưới dạng:

RT+1 = [(1+W*B)^P][(1-W*A)^Q] = (1+r)^T (2)

Ta đặt P/T = p và Q/T=q khi đó p + q = 1, trong đó p là tỷ lệ thắng, q là tỷ lệ thua. Công thức (2) có thể biến đổi về: 1 + r = [(1+W*B)^p][(1-W*A)^q]

Vậy thì để hiệu suất bình quân thời kỳ là lớn nhất, ta cần tính bài toán tối ưu tìm W để 1+r đạt giá trị lớn nhất.

Đặt E là logarit của tăng trưởng tài sản 1+r, khi đó ta có:

E = log(1+r) = p*log(1+W*B) + q*log(1-W*A) (3)

Để tìm max của E, thực hiện tính đạo hàm của E theo W, và dE/dW=0, khi đó:

dE/dW = p*[B/(1+W*B)]+q*[-A/(1-W*A)] = 0 (4)

Từ công thức (4) ta có p*B(1-W*A) – q*A(1+W*B) = 0 ó( p*B-q*A) – W*(p+q)*B*A = 0 (5)

Vì p+q= 1 như vậy từ (5) ta có W = (p*B-q*A)/(B*A) = p/A -q/B (6)

Từ công thức (6), nếu áp dụng cho trò chơi cá cược thì A là khoản lỗ đến 100% (mất hết phần cược), khi đó công thức Kelly sẽ được biểu diễn là: W = p – q/B = p – (1-p)/B = p*(1+1/B) – 1/B (7)

trong đó:

W: là tỷ trọng đầu tư trên tổng tài sản

p: là tỷ lệ thắng, q: là tỷ lệ thua

B: Phần thưởng nhận được cho chiến thắng.

Khảo sát biến thiên của W theo p và B ta có:

dW/dp = 1+ 1/B >0, như vậy p Tăng thì W tăng, điều này có nghĩa là, nếu tỷ lệ thắng Tăng thì tỷ trọng đầu tư trên tổng tài sản cũng Tăng và ngược lại.

dW/dB = q/(B^2) >0, như vậy B Tăng thì W tăng, điều này có nghĩa là, nếu hiệu quả mỗi lần chiến thắng Tăng thì tỷ trọng đầu tư trên tổng tài sản cũng Tăng và ngược lại.

Chúng ta dựa vào công thức (6) để xác định tỷ trọng đầu tư trên tổng tài sản, qua đó xác định tỷ lệ Cổ phiếu: Tiền mặt = W: (1-W), thông qua các giá trị: p – tỷ lệ thắng, A – hiệu suất bình quân trong trường hợp thua lỗ, q – tỷ lệ thua, B- hiệu suất bình quân trong trường hợp thắng.

Trên đây là một ứng dụng toán học giúp xác định, lượng hóa được tỷ lệ cổ phiếu: tiền mặt trong hoạt động đầu tư một cách cụ thể, và chúng ta hoàn toàn có thể giải thích được cách xây dựng một cách hợp lý. Một tỷ lệ cổ phiếu: tiền mặt dựa vào lịch sử đầu tư, giúp thu hẹp tỷ trọng trong trường hợp đầu tư không có hiệu quả, hoặc thua lỗ là chiếm đa số, ngược lại, giúp gia tăng tỷ trọng trọng trường hợp đầu tư có hiệu quả, hoặc tỷ lệ thành công (chiến thắng) là chiếm đa số.

Toán học và định lượng, bản thân nó, thực tế không hề xa rời các hoạt động trong cuộc sống của chúng ta nói chung, và trong hoạt động đầu tư nói riêng, ngược lại, nó vẫn âm thầm tạo ra giá trị cho chúng ta nếu được áp dụng một cách hợp lý.